lunes, 4 de mayo de 2015




ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO


A continuación resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempre que sea posible, algunas propiedades enunciadas anteriormente y en los en que no sea posible aplicar alguna de dichas propiedades, resolveremos las ecuaciones correspondientes usando la definición de valor absoluto. Además es importante tener en cuenta que toda ecuación que involucre valor absoluto se puede resolver usando la definición.
Ejemplo 1
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1.$\vert 2x-3\vert = 7$
2.$\vert x\vert = 5$
3.
4.
5.$\vert 2x+3\vert = -9$
6.$\vert x+3\vert = 5+x$
7.$\vert 1-3x\vert + x = -3$
8.$3\vert x+4\vert - 2 = x$
9.$ \sqrt[4]{(2x-15)^4} = 10$
10.$\sqrt{(3-x)^2} = 5$
11.$ \sqrt{(3-2x)^2} + x = 3$
12.$ 2\sqrt[4]{(5-4x)^4} = x+2$

Solución

1.$\vert 2x-3\vert = 7$
Por la propiedad 7
$\vert 2x-3\vert = 7$o
o
o

Observación
Como dijimos anteriormente, todas las ecuaciones que involucran valor absoluto se pueden resolver usando la definición. Para ilustrar esto resolveremos la ecuación anterior usando la definición de valor absoluto.

$\vert 2x-3\vert = 7$; por definición
$ \vert 2x-3\vert = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;\;2x-3 & \mbox{ si } & 2x-3 \geq 0\\ \\ \par -(2x-3) & \mbox{ si } & 2x-3 < 0 \end{array} \right.$
$\mbox{pero:}$$2x-3\geq 0$$\Leftrightarrow$$2x\geq 3$;$\mbox{o sea}$$x\geq {3\over{2}}$
$\mbox{y}$$2x-3<0$$\Leftrightarrow$$2x<3$;$\mbox{o sea}$$x< {3\over{2}}$
Por lo tanto: $ \vert 2x-3\vert = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;\;2x-3 & \mbox{ si } & x \g... ...pace{0.1cm}\\ -(2x-3) & \mbox{ si } & x < {3 \over 2}\\ \end{array} \right.$
Con esta información construimos la tabla siguiente:

Así el conjunto solución $S$, de $\vert 2x-3\vert = \mbox{ es } S_{1} \cup S_{2}, \mbox { o sea }S = \{$-2,5$\}$
2.$\vert x\vert = 5$
Por la propiedad 7:
$\vert x\vert = 5 \Leftrightarrow x = 5 \mbox{ o }x = -5$
$.^..S = \{-5,5\}$

3.
Por la propiedad 1, , siempre es mayor o igual que cero, por lo tanto:
  !Nunca!
Así $S = \emptyset$
4.
Por la propiedad 2:
img20a$\Leftrightarrow$$x+8$$=$$\;\;0$
$\Leftrightarrow$
$x$
$=$$-8$

5$\vert 2x+3\vert = -9$
Por la propiedad 1, $ \vert 2x + 3\vert \geq 0, \forall x, x \in I\! \! R$
$.^..\;\;\; \vert 2x + 3\vert = -9 \;\;\; \mbox { !\lq Nunca!}$
Así $S = \emptyset$
6.$\vert x + 3\vert = x + 5$
Nota: En este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades anteriores, por lo que procedemos de la siguiente manera:
   \begin{displaymath}\vert x + 3\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;x + 3 &... ...\\ -(x + 3) & \mbox{ si } & x + 3 < 0 \\ \end{array}\right.\end{displaymath}
o sea:
\begin{displaymath}\vert x + 3\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;x + 3 &... ...\\ \\ -(x + 3) & \mbox{ si } & x < -3 \\ \end{array}\right.\end{displaymath}
Con esta información construimos la siguiente tabla:

Así el conjunto solución S de     es   
  
7.$\vert 1-3x\vert + x = -3$
En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior:
\begin{displaymath}\vert 1 - 3x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} 1 - 3x & \mbox... ... -(1 - 3x) & \mbox{ si } & 1 - 3x < 0 \\ \end{array}\right.\end{displaymath}
$\mbox{pero:}$$1 - 3x \geq 0$$\,\Leftrightarrow$$\,\,-3x \geq -1$,$\mbox{o sea}$$ x\leq {1\over{3}}$
$\mbox{y}$$1 - 3x < 0$$\,\Leftrightarrow$$\,\,-3x < -1$,$\mbox{o sea}$$ x>{1\over{3}}$

\begin{displaymath}\vert 1 - 3x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} 1 - 3x & \mbox... ...(1 - 3x) & \mbox{ si } & x > {1\over{3}}\\ \end{array}\right.\end{displaymath}
Con esta información construiremos la siguiente tabla:

Así el conjunto solución $ S \mbox{ de }\vert 1 - 3x\vert + x = -3 \mbox{ es }S_{1} \cup S_{2} \mbox{ o sea }S = \emptyset$
8.$3\vert x+4\vert - 2 = x$
En este caso:
\begin{displaymath}\vert x + 4\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;x + 4 &... ...\\ -(x + 4) & \mbox{ si } & x + 4 < 0 \\ \end{array}\right.\end{displaymath}
o sea:
\begin{displaymath}\vert x + 4\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;x + 4 &... ...\\ \\ -(x + 4) & \mbox{ si } & x < -4 \\ \end{array}\right.\end{displaymath}
Con esta información construimos la siguiente tabla:

De aquí se tiene que el conjunto solución $ S \mbox{ de }\vert x - 4\vert - 2 = x \mbox{ es }\emptyset \mbox{ o sea }S = \emptyset$
9.$ \sqrt[4]{(2x-15)^4} = 10$
$\vert 2x-15\vert = 10$$\Leftrightarrow$$\,2x-15 = 10$$\,\,\mbox{o}$$\vert 2x-15\vert = -10$
$\Leftrightarrow$$\,2x = 25$$\,\,\mbox{o}$$2x = 5$
$ \,x = {25\over{2}}$$\,\,\mbox{o}$$ x = {5\over{2}}$

$ .^..\;\;\;S = \left\{{25\over{2}},{5\over{2}}\right\}$
10.$\sqrt{(3-x)^2} = 5$
= 5$\Leftrightarrow$$\,3-x = 5$$\,\,\mbox{o}$$3-x = -5$
$\Leftrightarrow$$\,-x = 2$$\,\,\mbox{o}$$-x = -8$
$\Leftrightarrow$$\,x = -2$$\,\,\mbox{o}$$x = 8$

11.$ \sqrt{(3-2x)^2} + x = 3$

Pero:
$ \vert 3 - 2x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} 3 - 2x & \mbox{ si } & 3 - 2x \geq 0 \\ \\ -(3 - 2x) & \mbox{ si } & 3 - 2x < 0 \\ \end{array}\right.$
$\mbox{Como:}$$3-2x\geq 0$$\Leftrightarrow$$-2x\geq -3$,$\mbox{o sea}$$x\leq {3\over{2}}$
$\mbox{y}$$3-2x<0$$\Leftrightarrow$$-2x<-3$,$\mbox{o sea}$$x> {3\over{2}}$

$.^..\;\;\; \vert 3 - 2x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;3 - 2x & \mbo... ...r{2}} \\ \\ -(3 - 2x) & \mbox{ si } & x > {3\over{2}} \\ \end{array}\right.$
Con esta información construimos la siguiente tabla:
De aquí se tiene que el conjunto solución    $ S \mbox{ de } \sqrt{(3-2x)^2}+x = 3\mbox{ es } \{0, 2\}\mbox{ o sea; }S = \{0, 2\}$
11.$ 2\sqrt[4]{(5-4x)^4} = x+2$

Pero: $\;\;\;\vert 5-4x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;5-4x & \mbox{ si } & 5-4x \geq 0 \\ \\ -(5-4x) & \mbox{ si } & 5-4x < 0 \\ \end{array}\right.$
$\mbox{Como:}$$5-4x\geq 0$$\Leftrightarrow$$-4x\geq -5$,$\mbox{o sea}$$ x\leq {5\over{4}}$
$\mbox{y}$$5-4x<0$$\Leftrightarrow$$-4x<-5$,$\mbox{o sea}$$ x>{5\over{4}}$

$.^..\;\;\; \vert 5-4x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;5-4x & \mbox{ s... ...over{4}} \\ \\ -(5-4x) & \mbox{ si } & x> {5\over{4}} \\ \end{array}\right.$
Con esta información construimos la siguiente tabla:


De aquí se tiene que el conjunto solución
 $ S \mbox{ de }2\sqrt[4]{(5-4x)^4} = x+3 \mbox{ es } \left\{{8\over{9}}, {12\over{7}}\right\}\mbox{ o sea; } S = \left\{{8\over{9}}, {12\over{7}}\right\}$
Ejercicio 1
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.$2\vert 2x-5\vert = x-3$
7.$3\vert-5x-1\vert = -2x+3$
8.$-1-2\vert 5-3x\vert = x$
9.$ \sqrt[6]{(2x+1)^6} = 3$
10.$ -2\sqrt{(1-7x)^2} = -6$
11.$ \sqrt{(x-2)^2}+3x = 6$
12.$ x+2\sqrt[4]{(x-6)^4} = 5$
Ejemplo 2
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1.$2\vert x\vert+\vert x-1\vert = 4$
2.
3.
4.$2\vert 3x-1\vert = \sqrt{(x-7)^2}$
5.$2\vert 2-x\vert+\vert 2x-1\vert = x$
6.$\vert 3-2x\vert+3\vert x+2\vert-x = 0$
Nota: En las ecuaciones que resolveremos a continuación omitiremos algunos pasos  al escribir la definición de cada uno de los valores absolutos involucrados.

Solución
1.$2\vert x\vert+\vert x-1\vert = 4$
En este caso se tiene que:
  1.      $\vert x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;x & \mbox{ si } & x\geq 0 \\ \\ -x & \mbox{ si } & x<0 \end{array}\right.$
  2. $\vert x-1\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;x-1 & \mbox{ si } & x\geq 1 \\ \\ -(x-1) & \mbox{ si } & x<1 \end{array}\right.$
Con esta información construimos la siguiente tabla:


De aquí se tiene que el conjunto solución de 

2.
En este caso se tiene que:
  1. $\vert 2x-3\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;2x-3 & \mbox{ si } & x\geq {3\over{2}} \\ \\ -(2x-3) & \mbox{ si } & x< {3\over{2}} \end{array}\right.$
  2. $\vert x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;x & \mbox{ si } & x\geq 0 \\ \\ -x & \mbox{ si } & x<0 \end{array}\right.$
Con esta información construimos la siguiente tabla:

De aquí que el conjunto solución de     es  S, donde 

3.

$\,\Leftrightarrow$$ \,\,{{\vert x-1\vert}\over{\vert x+1\vert}}$$=$$2$,$\mbox{por la propiedad 5}$
$\,\Leftrightarrow$$=$$\mbox{(*), con }x \neq -1$
$\,\Leftrightarrow$$\,\vert x-1\vert^2$$=$$(2\vert x+1\vert)^2$
$\,\Leftrightarrow$$\,\vert x-1\vert^2$$=$$4\vert x+1\vert^2$
$\,\Leftrightarrow$$(x-1)^2$$=$$4(x+1)^2$,$\mbox{ por la propiedad 6}$
$\,\Leftrightarrow$$\,x^2-2x+1$$=$$4(x^2+2x+1)$
$\Leftrightarrow$$x^2-2x+1$$=$
$\Leftrightarrow$$-3x^2-10x-3$$=$$0$
$\Leftrightarrow$$3x^2+10x+3$$=$$0$
Resolviendo esta ecuación por fórmula general:
$\triangle$$=$$100-4(3)(3)$
$\triangle$$=$$100-36$
$\triangle$$=$$64$
$x_{1}$$=$$ {{-10+8}\over{6}}$$\Rightarrow$$x_{1} = {-1\over{3}}$
$x_{2}$$=$$ {{-10-8}\over{6}}$$\Rightarrow$$x_{2} = -3$
De aquí se tiene que el conjunto solución de $ \left\vert{{x-1}\over{x+1}} \right\vert= 2 \mbox{ es }S, \mbox{ donde } \\ S = \left\{-3, {-1\over{3}}\right\}$

Nota: A partir de (*) esta ecuación se puede resolver utilizando un procedimiento similar al usado en los ejemplos (1) y (2) anteriores.
4.$2\vert 3x-1\vert = \sqrt{(x-7)^2}$
$\Leftrightarrow$$\,2\vert 3x-1\vert$$=$$\vert x-7\vert$$\mbox{(*)(Ver nota anterior)}$
$\Leftrightarrow$$\,(2\vert 3x-1\vert)^2$$=$$\,\vert x-7\vert^2$
$\Leftrightarrow$$\,4\vert 3x-1\vert^2$$=$$\,\vert x-7\vert^2$
$\Leftrightarrow$$\,4(3x-1)^2$$=$$\,(x-7)^2$
$\Leftrightarrow$$\,4(9x^2-6x+1)$$=$$x^2-14x+49$
$\Leftrightarrow$$\,36x^2-24x+4$$=$$x^2-14x+49$
$\Leftrightarrow$$35x^2-10x-45$$=$$0$
$\Leftrightarrow$$7x^2-2x-9$$=$$0$
Resolviendo esta ecuación por fórmula general:
$\triangle$$=$$4-4(7)(-9)$
$\triangle$$=$$4+252$
$\triangle$$=$$256$
$x_{1}$$=$$ {{2+16}\over{14}}$$\Rightarrow$$x_{1}= {9\over{7}}$
$x_{2}$$=$$ {{2-16}\over{14}}$$\Rightarrow$$x_{2} = -1$
$.^..\;\;\;\mbox{ el conjunto soluci\'{o}n de }2\vert 3x-1\vert = \sqrt{(x-7)^2}\mbox{ es } S \mbox{ donde: }S = \left\{ {9\over{7}}, -1\right\}$
5.$2\vert 2-x\vert+\vert 2x-1\vert = x$
En este caso se tiene que:
  1. $\vert 2-x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;2-x & \mbox{ si } & x\leq 2 \\ \\ -(2-x) & \mbox{ si } & x>2 \end{array}\right.$
  2. $\vert 2x-1\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;2x-1 & \mbox{ si } & x\geq {1\over{2}} \\ \\ -(2x-1) & \mbox{ si } & x< {1\over{2}} \end{array}\right.$
Con esta información construimos la siguiente tabla:


De aquí se tiene que el conjunto solución de $2\vert 2-x\vert+\vert 2x-1\vert = x\mbox{ es }S,\mbox{ donde } S = \emptyset$
6.$\vert 3-2x\vert+3\vert x+2\vert-x = 0$
En este caso se tiene que:
  1. $\vert 3-2x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;3-2x & \mbox{ si } & x\leq {3\over{2}} \\ \\ -(3-2x) & \mbox{ si } & x> {3\over{2}} \end{array}\right.$
  2. $\vert x+2\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;x+2 & \mbox{ si } & x\geq -2 \\ \\ -(x+2) & \mbox{ si } & x<-2 \end{array}\right.$
Con esta información construimos la siguiente tabla:

De aquí que el conjunto solución de $\vert 3-2x\vert-3\vert x+2\vert-x = 0\mbox{ es }S,\mbox{ donde } S = \left\{ {-1\over{2}}\right\}$
Ejercicio 2
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
  1. $ \sqrt{(4x-1)^2} = \vert 3-8x\vert$
  2. $ \left\vert{2x+1}\over{1-x}\right\vert = 3$
  4. $ \sqrt[4]{(x+1)^4}-3\vert x-2\vert = 6$
  5. $\vert x-4\vert- \left\vert{x-1}\over{5}\right\vert = 4-x$
  6. $ {\vert x\vert\over{2}}+3x+4 = \vert x-1\vert$

VIDEO PARA RESOLUCIÒN:
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